Vzorové řešení 1. kola matematického korespondenčního semináře 2006/2007

1. Označíme-li počet neobrýlených děvčat jako , plyne ze zadání , čili . Proto je ve třídě 15 dívek.
2. Po vyzkoušení všech devíti možností pro číslici na místě jednotek dostaneme 8 řešení. (např. 105 263 157 894 736 842 atd.)
3. a) Pokud jsou strany čtverce rovnoběžné se stranami sítě, je velikost čtverce rovna druhé mocnině přirozeného čísla

b) Pokud nejsou rovnoběžné, musí se velikost čtverce rovnat součtu dvou druhých mocnin přirozených čísel.

Existuje 12 různých čtverců.

4. Hráč, který začíná, může vždy vyhrát, vezme-li poprvé 2 párátka a potom vždy párátek, kde je počet párátek, které odebral druhý hráč v předešlém tahu.
5. Významný starověký řecký matematik, astronom a filosof

582?- 496? př.n.l.

Dokonalá jsou přirozená čísla, která jsou rovna součtu všech svých dělitelů kromě sebe sama. Například 6 = 1 + 2 + 3.

(Není známo, zda je dokonalých čísel konečně nebo nekonečně mnoho.)