Řešení 3. kola korespondenčního semináře 2006-2007

1. V trojúhelníku ABC na obrázku platí: úhel ABC je shodný s úhlem DEA. Délka strany AB je 3, délka strany BC je 4, úsek AE má velikost 1. Určete délku úsečky ED.

Řešení:
 
BC/ED = AB/AE
4/ED = 3/1
3 ED = 4
ED = 4/3

2. Motorový člun má zásoby paliva na 4 hodiny, opouští loď a míří přesně na sever rychlostí 80 km/h. Loď pokračuje 30° jihovýchodně (podle obrázku) rychlostí 32 km/h. Určete maximální možnou vzdálenost, kterou člun může severně ujet, aby se bezpečně stihl vrátit k lodi, kde opět načerpá palivo (předpokládejme, že člun se vrací po přímce).

Řešení:
 
Dráha člunu na sever: 
Dráha lodi: 
Dráha člunu při návratu: 
Kosinová věta: 
Doba pohybu člunu na sever: 
Dráha člunu na sever: 

3. Na narozeninové oslavě se rozdávaly bonbóny. Nejdříve si vzal Karel jeden kus. Potom si vzal Jirka dva kusy. Každý další si vzal vždy o jeden kus víc než jeho předchůdce. Potom se všichni rozdělili mezi sebou rovným dílem.. Kolik lidí bylo na oslavě, jestliže každý získal 6 kusů ?

Řešení:

Každý měl po rozdělení 6 kusů. Prvních pět si tedy vzalo postupně 1,2,3,4,5 kusů a museli získat chybějící bonbóny od ostatních (kteří šli po nich a vzali si víc). Od sedmého mohl získat pátý 1 kus, od osmého mohl získat čtvrtý 2 kusy, od devátého mohl získat třetí 3 kusy, od desátého mohl získat druhý 4 kusy, od jedenáctého mohl získat první 5 kusů. Na oslavě nemohlo být víc než 11 lidí, dvanáctý by musel nabídnout 6 kusů, ale to by znamenalo, že by si někdo nevzal původně nic, což odporuje zadání.

4. Horáčkovi snídají 10 topinek. Na pánev se vejdou najednou právě dvě topinky. Každou stranu topinky je třeba smažit 20 vteřin. Určete nejkratší možnou dobu, která je potřebná k osmažení všech topinek.

Řešení:

Osmažím-li dvojici za 40 s a tento postup budu opakovat dostanu deset topinek za 200 s.

5. Co to je Eulerova přímka?

Řešení:

V trojúhelníku, ve kterém jsou průsečík výšek, průsečík těžnic a střed kružnice trojúhelníku opsané různé body, leží tyto body na tzv. Eulerově přímce.