Řešení 4. kola matematického korespondenčního semináře 2006/2007
- V Horáčkovic
penzionu se snídá 111 topinek. Na pánev se vejdou najednou právě dvě
topinky. Každou stranu topinky je třeba smažit 20 vteřin. Určete nejkratší
možnou dobu, která je potřebná k osmažení všech topinek.
Řešení:
Pokud dám smažit dvojici a před obrácením jednu z nich
nahradím další, ušetřím v případě lichého počtu topinek 20 vteřin.
Tudíž výsledek je 55*40 + 20 =2220
s.
- Uvažujme
součet čísel
. Lze dostat součet, který je násobkem čísla 11? Vypište
všechny možnosti.
Řešení:
Zřejmě by šlo uvažovat všechny možnosti pro 
a 
a provést zkoušky.
Využitím kritéria dělitelnosti 11 však snadno dostaneme, že 
, z čehož vyplývá 
. Tudíž má úloha 8 řešení, např. 727272+161616.
- Do čtvercové
sítě na obrázku nakreslete nepřerušenou lomenou čáru, která prochází všemi vyznačenými (mřížovými) body
tak, aby se skládala z co nejmenšího počtu úseček (můžete se dostat
vně sítě).
Řešení:
Nejkratší lomená čára se skládá ze čtyř úseček (například viz
obr.):
- Cestovatel se
dostal do oblasti, kde rozdíl mezi denní a noční teplotou jak tak velký,
že se to projeví na chodu hodinek. Ve dne se předběhnou o půl minuty,
kdežto v noci se o třetinu minuty zpozdí. Ráno 7. května ukazovaly správný čas.
Kterého dne půjdou
o 5 minut napřed?
Řešení:
Za
24 hodin se hodinky předejdou o 10 vteřin.
O jednu minutu tedy za 6 dní a
nocí. O pět minut za 30 dní a nocí. Z toho by vyplynulo datum 6.6. Protože
se však přes noc hodinky pozdí, půjdou poprvé o pět minut napřed už 5.6.
- Zjisti, zda
existují takové geometrie, ve kterých neplatí, že součet vnitřních úhlů
v trojúhelníku je 180°. Napiš, které geometrie to jsou.
Řešení:
Takové geometrie existují. V Lobačevského geometrii je
součet úhlů v trojúhelníku menší a v Riemannově geometrii větší než 180°.