Řešení 1. kola matematického korespondenčního semináře 2008/2009

1.  Má-li platit že při rozdělení dopisů na hromádky po dvou (3, 4, 5, 6, 7) dopisech vždy jeden zbyde, znamená to, že počet dopisů x je o 1 větší než společný násobek čísel 2, 3, 4, 5, 6 a 7. Nejprve si určíme, kolik je nejmenší společný násobek těchto čísel:

     Protože počet dopisů má být dále menší než 1000, vyhovují dvě řešení:

 (dopisů) a  (dopisů).

     K zodpovězení druhé otázky si zjistíme zbytek po dělení výše uvedených čísel osmi:

     421 : 8 = 52, zbytek 5        Ještě musí napsat 3 dopisy.

     841 : 8 = 105, zbytek 1      Ještě musí napsat 7 dopisů.

2.  Označme M zkratku pro předmět „matematika“, D „dějepis“ a L „literatura“. Do následující tabulky jsme zanesli, které předměty mohou být v pondělí v průběhu prvních tří hodin:

1. hodina	M	D
2. hodina	M		L
3. hodina		D	L

     Jsou tedy dvě možnosti, jak vyhovět těmto třem požadavkům:

     1.   M (1. h), L (2. h), D (3. h)

     2.   D (1. h), M (2. h), L (3. h)

3.  Původní poměr obou bylin byl 7 : 2, což znamená, že jahodového listu bylo (7x) g a lipového květu (2x) g.

     Poté maminka něco přidala, takže směs obsahovala (7x + 21) g jahodového květu a (2x + 12) g lipového květu.

     Hmotnosti těchto dvou složek mají být v poměru 11 : 4, proto můžeme sestavit následující rovnici:

     jahodový list: g

     lipový květ: g

     Nová směs obsahovala 77 g jahodového listu a 28 g lipového květu.

4.  Vyjdeme z toho, že úhlopříčka v obdélníku rozdělí tento obdélník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. To znamená, že trojúhelník ABC má stejný obsah jako trojúhelník CDA, stejně tak i dvojice trojúhelníků AXH a HUA, resp. HYC a CZH. Proto platí:

     Oba obdélníky mají stejný obsah bez ohledu na polohu bodu H na úhlopříčce AC.

5.  Zápis  vyjadřuje předpis funkce signum. Tato funkce přiřazuje každému kladnému reálnému číslu číslo +1 a každému zápornému reálnému číslu číslo -1. Nule přiřazuje 0. Proto je .